Un lancer, c'est la surprise. Mille lancers, c'est réglé comme du papier à musique.
Lancez un dé une fois : impossible de savoir ce qui va sortir. Mais lancez-le des centaines de fois et il se passe quelque chose d'étonnant : chaque chiffre finit par tomber à peu près aussi souvent que les autres — environ une fois sur six. Autrement dit, un lancer tout seul est une surprise, mais l'ensemble des lancers, lui, est très régulier. C'est ce qu'on appelle la loi des grands nombres : plus on répète, plus le hasard devient prévisible.
Une précision importante : prendre une ou deux pièces au hasard ne suffit pas — l'échantillon ne « ressemblerait » pas au lot. Il en faut assez (on retient souvent une trentaine au minimum). Pour aller plus loin, des règles toutes prêtes, les plans d'échantillonnage (comme la norme ISO 2859), calculent exactement combien de pièces prélever selon la taille du lot.
Additionnez plusieurs dés, et une belle cloche apparaît
Avec un seul dé, tous les chiffres sortent autant les uns que les autres : l'histogramme est plat. Mais additionnez deux dés, puis trois, puis cinq… et une bosse se forme au milieu. Pourquoi ? Parce qu'il n'y a qu'une seule façon de faire un très petit total (tous les dés au minimum), mais des tas de façons de faire un total moyen. Les valeurs du milieu tombent donc beaucoup plus souvent. Cette fameuse courbe en cloche, c'est la loi normale — la plus répandue de toutes. (Les statisticiens appellent ça le « théorème central limite », mais l'idée tient en une phrase : quand un résultat est la somme de plein de petites choses, il forme une cloche.)
Faites glisser le curseur de 1 à 10 dés : observez le passage du plat… à la cloche.
Compter les « oui » : pile ou face, bon ou pas bon
Ici, on ne regarde plus la valeur d'un dé, mais un résultat à deux issues seulement : pile ou face, réussi ou raté, présent ou absent. On répète l'épreuve plusieurs fois et on compte les « oui ». Sur 10 lancers d'une pièce, combien de piles ? En général autour de 5, parfois 3 ou 7, très rarement 0 ou 10. Cette façon dont le nombre de succès se répartit porte un nom : la loi binomiale.
Les deux curseurs, en clair : le premier fixe le nombre de lancers par série. Le second, la « chance d'avoir un succès » : à 50 %, c'est une pièce normale (une chance sur deux) ; mais on peut la « truquer » et descendre, par exemple, à 10 % — le succès ne tombe alors qu'une fois sur dix.
Attention à un piège de vocabulaire : « succès » = ce que vous décidez de compter. Ça peut être une pièce bonne… ou une pièce ratée, à vous de choisir. En statistique, on appelle « succès » l'événement qu'on compte, même si, dans la vraie vie, c'est un défaut ! Donc si vous comptez les pièces ratées d'une machine qui en rate 5 sur 100, la « chance de succès » se règle sur 5 % (le succès, ici, c'est « tomber sur une pièce ratée »).
L'axe du bas n'est pas « bon / pas bon ». C'est le nombre de « bons » obtenus dans une série de lancers. Exemple avec des séries de 10 : vous lancez 10 fois, vous obtenez 6 bons → la barre du « 6 » monte d'un cran. En répétant des centaines de séries, les résultats du milieu (autour de 5 sur 10) reviennent le plus souvent : d'où la bosse. Faire 0 ou 10 bons d'affilée est possible… mais très rare, d'où les toutes petites barres sur les bords.
« De temps en temps » : combien de fois, exactement ?
Certaines choses arrivent au hasard, sans prévenir, mais à un rythme qu'on connaît à peu près : un appel qui sonne, une panne, un client qui pousse la porte. On ne sait pas quand exactement, mais on sait la cadence moyenne — disons 4 par heure. Alors, combien vais-je en avoir cette heure-ci ? Parfois 2, parfois 6, de temps en temps 0 ou 9. Cette loi du « combien de fois par tranche de temps » s'appelle la loi de Poisson. Le seul réglage, λ (lambda), c'est justement cette cadence moyenne : le nombre qu'on obtient en moyenne sur une tranche.
Chaque barre montre à quel point un nombre est probable. Les barres sont hautes autour de la moyenne (c'est ce qui arrive le plus souvent) et minuscules sur les bords. Autrement dit, si la moyenne est 12-13, le graphe ne dit pas « ça peut être n'importe quoi entre 0 et 27 » — il dit « ce sera presque toujours autour de 12-13 ». Tomber à 0 ou à 27 est possible… mais quasiment jamais.
Et pour dimensionner une équipe ? On ne prévoit pas pour la moyenne (on serait débordé une fois sur deux), ni pour le maximum (qui n'arrive jamais). On prévoit pour un nombre qu'on ne dépassera que rarement. C'est exactement ce que donne l'encart « 9 fois sur 10 » à droite. D'où sort ce nombre ? C'est la loi de Poisson qui le calcule à partir de votre cadence moyenne : on empile les barres depuis la gauche jusqu'à couvrir 90 % des cas — le nombre atteint à ce moment-là est le seuil. Avec une moyenne de 12, ce seuil vaut 17 : 9 fois sur 10, vous aurez au plus 17 événements.
Quelle loi pour quel besoin ?
Vous avez vu naître quatre lois à partir de dés et de pièces. Avant de voir laquelle choisir, posons la vraie première question : pourquoi se servir d'une loi ?
D'abord : pourquoi se servir d'une loi ?
Parce qu'une loi permet de prévoir et décider à partir de peu de données, au lieu d'attendre de tout observer. Vous avez une situation concrète — dimensionner une équipe, fixer un délai réaliste, savoir combien de rebuts attendre, juger si un incident est un vrai problème ou une simple variation normale. Plutôt que de deviner, vous reconnaissez la nature de ce que vous mesurez, vous lui associez la bonne loi, et elle vous répond en chiffres : « ce sera presque toujours entre tant et tant », « 9 fois sur 10, au plus tant ».
| Ce que je cherche à décrire | Loi | Le réglage, en clair | Exemple concret |
|---|---|---|---|
| Un tirage où toutes les issues ont la même chance | Uniforme→ voir l'onglet | Le nombre d'issues possibles | Tirage au sort d'un dossier à auditer |
| Une mesure qui est la somme de nombreuses petites variations | Normale→ voir l'onglet | Une moyenne et une dispersion (écart-type) | Taille d'une pièce, temps total d'un processus, poids |
| Un comptage de « oui / non » sur un nombre fixe d'essais | Binomiale→ voir l'onglet | Un nombre d'essais et une chance de succès | Nombre de non-conformes dans un lot de 100 |
| Un nombre d'événements rares sur une tranche | Poisson→ voir l'onglet | Une cadence moyenne (λ) | Appels par heure, pannes par mois, défauts par m² |
Le fil rouge vers le Six Sigma
Ces lois ne sont pas des curiosités mathématiques : ce sont les outils de travail du praticien. La loi normale rend possibles la capabilité (mesurer si un procédé tient ses tolérances) et les cartes de contrôle (surveiller sa stabilité). La binomiale et Poisson fondent les cartes de comptage et le calcul du DPMO (le nombre de défauts ramené à un million d'occasions). Comprendre d'où viennent ces lois, c'est cesser d'appliquer des recettes… et commencer à piloter.
Ce support couvre les quatre lois les plus utiles pour démarrer. D'autres viendront selon les besoins : la loi exponentielle (le temps entre deux événements, base du MTBF et des files d'attente), Weibull (durées de vie, très utilisée en maintenance), la log-normale (durées et coûts) ou la géométrique (nombre d'essais avant le premier succès). Elles enrichiront de prochaines versions.